PRÓXIMO SEMINARIO: 24/04/2026 a las 10:00. Enlace al seminario

León Ávila León (Universidad de Málaga).

Título: Esquemas de relajación cinética explícitos e implícitos Well Balanced para sistemas hiperbólicos de leyes de equilibrio.

Resumen.

Este trabajo presenta una novedosa familia de esquemas numéricos Well Balanced para sistemas hiperbólicos de leyes de equilibrio, basados en el enfoque de relajación cinética. El método comienza transformando el sistema no lineal original en un sistema cinético linealizado con un mayor número de variables. En este marco, las no linealidades se trasladan al término fuente y la conexión con las variables macroscópicas se mantiene mediante un operador de proyección relacionado con los estados de equilibrio maxwellianos.

Estos sistemas relajados se resuelven típicamente utilizando técnicas de separación (splitting), donde la evolución se descompone en dos pasos distintos: primero, la etapa de transporte que resuelve el sistema cinético sin fuentes, y segundo, la etapa de relajación gobernada por una ecuación diferencial ordinaria donde la derivada temporal se equilibra con el término fuente cinético.

El objetivo principal es diseñar esquemas que preserven con precisión las soluciones de estado estacionario de las ecuaciones macroscópicas originales, teniendo en cuenta que estas no coinciden necesariamente con los equilibrios triviales del sistema relajado. Esta propiedad Well Balanced se logra a través de una formulación adecuada del sistema cinético combinada con operadores de reconstrucción consistentes. Este enfoque garantiza que el balance se mantenga tanto en la etapa de transporte como en la de proyección, donde el tratamiento del término fuente macroscópico se integra cuidadosamente. Demostramos que este marco puede implementarse utilizando tanto técnicas de Volúmenes Finitos (VF) como Semi-Lagrangianas (SL) en el paso de transporte.

Desarrollamos y analizamos estos esquemas para el caso de Volúmenes Finitos en formulaciones tanto explícitas como implícitas. Se alcanza una alta precisión espacial (primer, segundo y tercer orden) mediante el empleo de operadores de reconstrucción de alto orden, mientras que la precisión temporal de mayor orden se logra combinando correctamente los pasos de separación de menor orden. Además, se explora la implementación Semi-Lagrangiana por sus ventajas de estabilidad.

Finalmente, el rendimiento y la robustez de los métodos propuestos se validan a través de varios bancos de pruebas numéricos, incluyendo la ecuación de Burgers con término fuente, las Ecuaciones de Aguas Someras (SWE, por sus siglas en inglés) en 1D con batimetría compleja que preservan equilibrios no triviales de "agua en movimiento", y las ecuaciones de Euler bajo potenciales externos.

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